Géométrie et toisé

 

Lignes et angles

 

 

Les lignes:
 
a - droites: lignes qu'illustre une corde bien tendue;
 
b - courbes: lignes observables lors d'un arc-en-ciel ou autour d'un rond point;
 
c - parallèles: droites qui ne se rencontrent jamais;
 
d - concourantes: droites qui se coupent;
 
e - horizontales: parallèles à l'eau d'un lac calme;

 

_______________

_______________

horizontales

 

f - verticales: droites que tracent les ficelles au bout desquelles on a suspendu des poids.
 
g - obliques: droites ni verticales ni horizontales.
 

 

Les angles
 
Quand deux droites concourantes se rencontrent, elles forment un angle. Les lignes sont les côtés de l'angle; et le point de rencontre, le sommet de l'angle.

 

Angle droit: deux lignes concourantes qui sont perpendiculaires l'une à l'autre. Comme par exemple, les deux aiguilles d'une horloge quand elles marquent 3 heures.
 

 

Angle aigu: un angle plus petit qu'un angle droit.
 
Angle obtus: un angle plus grand qu'un angle droit.
 

 

Grandeur et mesure des angles

 

On peut écarter à volonté les branches d'un compas; on forme ainsi des angles nombreux. On peut dire qu'un angle est l'écartement de deux demi-droites qui ont même origine.

 

 

1- Grandeur des angles

 

La grandeur d'un angle ne dépend pas de la longueur de ses côtés mais uniquement de leur écartement.

 

2- Mesure des angles

 

Le degré sert d'unité de mesure pour déterminer la grandeur d'un angle.
 
- Mesurer un angle, c'est chercher le nombre de degrés qu'il contient.

 

- Quand les aiguilles d'un cadran indiquent 3 heures, nous avons un angle droit; l'angle droit mesure 90 degrés. On écrit 90°; le petit ° est le symbole qui signifie degré.

 

 

 3- Instruments pour la mesure des angles:

 

- L'équerre: cet instrument sert à tracer des angles droits ou à vérifier si des angles déjà tracés sont droits.

 

- Le rapporteur d'angles: cet instrument sert à mesurer et à tracer des angles. Le rapporteur est une demi-circonférence divisée en 180 °
 

Quelques polygones

 

Le polygone est une figure fermée par des segments de droite. Ces segments sont les côtés du polygone.
 
Les polygones se désignent par des noms différents suivant le nombre de leurs côtés:
 
  • - le triangle a 3 côtés;
 
  • - le quadrilatère a 4 côtés.
 
a) Le quadrilatère qui a trois côtés inégaux et aucun angle droit est un quadrilatère quelconque. 

 

b) Le quadrilatère qui a ses côtés opposés égaux est un parallélogramme.
 
c) Le rectangle est un parallélogramme dont les angles sont droits.
 
d) Le carré est un rectangle dont les côtés sont égaux.
 
e) Un losange est un parallélogramme dont les côtés sont égaux.
 

 

 Le périmètre

 

Le périmètre, c'est le contour d'une figure. Pour trouver le périmètre d'un polygone, il suffira de faire la somme de ses côtés.

 

 La surface

l'aire ou la superficie

 

Chercher une surface d'une figure, c'est chercher le nombre de mètres carrés, de centimètres carrés ou de kilomètres carrés qu'elle contient.

 

1- Si on désigne par la lettre S la surface d'un rectangle, par b sa base et par h sa hauteur, on peut écrire de façon abrégée la manière de trouver sa surface:
 

 La surface d'un rectangle = base x hauteur

ou

S = b x h

 

2- Le carré est un rectangle dont les côtés son égaux et se confondent avec la base et la hauteur. Pour trouver la surface d'un carré, il suffit d'élever le côté (c) au carré.
 

La surface d'un carré = C x C

 

ou

S = C x C ou C²

 

 

Recherche de H et de B en fonction de S

 

Dans un rectangle, si l'on connaît la surface et la hauteur, on a donc le produit de 2 facteurs et l'un de ces derniers. Pour trouver l'autre facteur, la base, on n'a qu'à diviser la surface par la hauteur.
 

 base x hauteur = surface d'un rectangle

 

 base = surface

________

hauteur

 

hauteur = surface

_________

base

 

 

 Le triangle

 

- Un triangle est isocèle lorsque deux de ses côtés sont égaux. Dans un triangle isocèle la hauteur issue du sommet compris entre les côtés égaux tombe toujours au milieu de la base.
 

 

  • - Un triangle équilatéral a ses 3 côtés égaux.
 
  • - Un triangle est rectangle lorsque deux de ses côtés sont perpendiculaires.
 

Surface du triangle

 

Si je sépare un rectangle par une diagonale, j'obtiens 2 triangles rectangles égaux. Chacun de deux triangles a la même base et la même hauteur que le rectangle qui les contient.

 

La surface du triangle sera donc égale à la moitié de celle du rectangle de même base et de même hauteur.
 

Surface du triangle = base x hauteur sur 2

 

S = b x h sur 2

 

Le losange

 

Quand un parallélogramme a ses quatre côtés égaux, on l'appelle losange. Le losange peut être placé à l'intérieur d'un rectangle qui comprend 8 petits triangles égaux dont 4 pour former le losange.
Surface = b x h sur 2

 

 

Traçons deux diagonales dans un losange

 

La grande diagonale: D sert de b

 

La petite diagonale: d sert de h

 

La surface du losange = D x d sur 2

 

 

 

Le trapèze

 

Quadrilatère ayant 2 côtés parallèles inégaux.

 

Un trapèze dont les côtés non parallèles sont égaux est un trapèze isocèle.

 

Un trapèze où un des côtés non parallèles est perpendiculaire à chacune des bases est un trapèze rectangle.

 

Deux trapèzes égaux isocèles placés côte à côte dont l'un en sens inverse de l'autre, forment ainsi un parallélogramme dont la base est formée de la somme des bases du trapèze ou B + b et dont la hauteur (h) est celle de l'un des deux trapèzes.
 

La surface du trapèze = (B + b) h sur 2

 

 

Conclusion

 

 Le triangle et le quadrilatère

 

 

I- Le triangle: c'est un polygone de trois côtés

 

 1- Ses variétés:

 

 

  • - scalène, s'il a trois côtés inégaux;
  • - isocèle, s'il a deux côtés égaux;
  • - équilatéral, s'il a trois côtés égaux;
  • - rectangle, s'il a un angle droit;
  • - rectangle isocèle, s'il a un angle droit et deux côtés égaux.

 

2- Sa formule

 

Quelle que soit la forme du triangle, on peut toujours calculer sa surface par la formule:

 

 

S = Base x Hauteur ou B x H sur 2

 

 

 

II- Le quadrilatère: c'est un polygone de quatre côtés.

 

A) Le parallélogramme: c'est un quadrilatère dont les quatre côtés sont parallèles deux à deux.
 

 1- Ses variétés:

 

  • - un rectangle, s'il a quatre angles égaux (90°);
  • - un losange, s'il a quatre côtés égaux;
  • - un carré, s'il a quatre angles et quatre côtés égaux;
 

 

2- Sa formule:

 

Quelle que soit la forme du parallélogramme, une seule formule peut nous permettre de calculer sa surface:
 

S = Base x Hauteur ou S = B x H

 

* Pour le calcul de la surface, certains parallélogramme ont une seconde formule qui leur est propre.

 

 

Ainsi, pour le carré, on peut utiliser S = C²

 

 

et pour le losange S = D x d sur 2

 

 

B) Le trapèze: c'est un quadrilatère dont seulement deux côtés sont parallèles.
 

1- Ses variétés:

 

  • - isocèle, si ses deux côtés non parallèles sont égaux;
  • - rectangle, si l'un de ses côtés non parallèles est perpendiculaire aux deux bases.
 

2- Sa formule:

 

Une seule formule peut nous permettre de calculer la surface des trapèzes les plus variés:

 

 

S = Somme des bases x hauteur ou S = (B + b) H sur 2
 
 

La circonférence et le cercle

 

 

Une circonférence, c'est une courbe fermée dont tous les points sont à égale distance du point central.

 

La surface comprise à l'intérieur de la circonférence se nomme cercle.

 

Le diamètre est une corde qui passe par le centre du cercle.

 

Le rayon est la droite qui joint le centre à un point de la circonférence.
 

pi = 3.1416

Circonférence = diamètre X 3 1/7 (3.1416)

C = pi D ou C =2 pi R

 

 

 

Le cercle est la surface comprise à l'intérieur d'une circonférence.

 

 

pi = 3.1416 

Surface du cercle = pi R²

 

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